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Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

By Gisbert Wüstholz

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Denn es gilt fUr g, h, kEG hkg(hk)-l h(kgk-1)h- 1 ad(hk) (g) ad(h) (ad(k )(g)) (ad(h) ad(k))(g) und somit ad(hk) = ad(h) ad(k), d. h. ad ist ein Homomorphismus. Die Darstellung ad nennt man die adjungierte symmetrische Darstellung. Man nennt den Kern von ad das Zentrum von G und schreibt dafUr Z(G). Das Bild von Gunter dem Homomorphismus ad bezeichnet man mit int(G), und Elemente von int (G) hei£en innere A utomorphismen. 27 Die Linksmultiplikation mit Elementen einer Gruppe G ergibt eine symmetrische Darstellung l: G h ---4 f----+ :fJ(G) l (h ): g f---t hg und somit eine Aktion von G auf G.

Der Satz von Schreier ist offensichtlich aquivalent mit der Aussage, dass es zu je zwei Normalreihen <& und <&' eine Normalreihe ye gibt mit <& :::; ye und <&' :::; yeo Eine wichtige Konsequenz aus diesem Resultat ist der Satz von Jordan-Holder iiber Kompositionsreihen. Eine Normalreihe G = Go ::J ... ::J G r = {I} heiBt Kompositionsreihe von G der Liinge r, wenn alle Faktoren der Reihe einfache Gruppen sind. In diesem Fall liisst sie sich nicht mehr echt verfeinern. 4 isomorphe Verfeinerungen, die 0 jedoch nicht echt sein konnen.

7. Zeige, dass das Zentrum von ::In fUr n 2: 3 nur aus {id} besteht. 8. Beweise, dass fiir n 2: 5 je zwei Dreierzyklen in tttn konjugiert sind. 9. Mathieu-Gruppen fUr Fein8chmecker und Liebhaber (a) Es sei r die von den Elementen w = (123)(456)(789) und 7r = (147)(258)(369) in ::Ig erzeuge Untergruppe. Zeige, dass r ~ C3 x C 3. (b) Zeige, dass die von den Permutation a = (2437)(5698) und r = (2539)(4876) erzeugte Untergruppe A von ::13 isomorph zur Quaternionengruppe ist. (c) Es sei Mg = rA. Zeige, dass Mg eine Gruppe ist.

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